哲学者の朝食はタバコとコーヒー

*フロイト(病気)とボルツマン(気象)の描く千佳画*//

rain.18.03.14.01.R5.ー統計力学と降水現象

R5.

  9. 統計力学系による検証

温度(16℃、289.15K)と水蒸気圧(1840pa)が決まると、統計力学系でS_R=2を検証することができる。新しい力学系と統計力学系を比較するために、自由度1の水分子の併進運動とした。諸元は次のとおりである。
    T = 289.15 K
    P = 1840 pa
    λ = 60.60 kg
    C_R = 60.19*1.1974
    N = 6.096*10^{28}
    m = 2.9916*10^{-26} kg
    h = 6.626*10^{-34} Js
    k_b = 1.3806*10^{-23} J/K
計算式とその結果は次のとおりである。
    L_ε^2 = \displaystyle\frac{π}{P}Nk_b T = 4.155*10^5 m^2
    Γ_1 = \displaystyle\frac{L_ε^2}{h}\sqrt{\displaystyle\frac{mP}{2N}}  = 1.3324*10^{13}
    α = \ln\displaystyle\frac{N}{Γ_1} =36.06
    S_R =1.999
    v_1 =365.3 m/s
S_R = 1.999であり、古典力学系で確認したS_R=2が、10)式が成立しているとすると、統計力学系でも確認できる。
新しい力学系と、統計力学系を比較して、表2.に示した。

             表2. 力学系の比較
            新しい力学系    統計力学系
    L_ε(m)     9.791        644.6
    k_ε(J/kg)  1.520*10^-26
    K_b(J/K)              1.3806*10^-23
    α        44.434       36.06
    S_R       1.622        1.999
    v_1(m/s)    5.5506        365.3
新しい力学系は降水現象を取り扱い、統計力学系は熱現象を取り扱っているが、新しい力学系は統計力学系に比較して、格段に小さい力学系であることが分かる。
それぞれの力学系の水分子1個の平均エネルギーは次のとおりである。
    統計力学系  \displaystyle\frac{β}{2} = \displaystyle\frac{k_bT}{2} = 1.996*10^{-21} J
    新しい力学系 \displaystyle\frac{τ}{2} =\displaystyle\frac{k_ε λ}{2} = 4.6056*10^{-25} J
降水現象は熱現象に比べて、極めてエネルギーの小さい領域の現象であり、誤差の範囲の現象であることが分かる。新しい温度λと新しいボルツマン定数k_εという尺度を設定することによって、エネルギーの極めて小さい領域の、誤差の範囲の降水現象を見ることができるようになる。

  10. 2重構造

新しい力学系の圧力を水蒸気の圧力1840 paとして、水分子1個の速度を計算した。この1840 paは量子効果を含んでいるが、標準大気圧101325 paの中では量子効果は消える。従って、
         \displaystyle\frac{1840}{101325*1.1974} = 0.015166
量子効果を含んだ2つの力学系の水分子の速度の比は、
         \displaystyle\frac{5.5506}{365.3} = 0.015195
正確に上位3桁が一致している。標準大気圧と水蒸気圧の比は、水蒸気圧下での2つの力学系の速度の比と同じになる。圧力はエネルギーに比例し、エネルギーは速度の2乗に比例するから、系は2重構造となっていることが分かる。そして、水蒸気圧下では力学系は量子効果を持っていることが分かる。 従って、
         \displaystyle\frac{101325*1.1974}{1840}*\displaystyle\frac{1}{\sqrt {1.1974}} = 60.26
         \displaystyle\frac{365.3}{5.5506}*\displaystyle\frac{1}{\sqrt {1.1974}} = 60.144
系は、ほぼ、降水回数C=60.19となっていることが分かる。系が2重構造となっていること、水蒸気圧下では量子効果が現れること、から、水蒸気圧下での2つの力学系の量子効果のパラメータ、S_R=2S_R=1.622の違いが、体積、つまり、L_εの違いとなって現れ、18)式の気体の状態方程式からkεを決定することができた。
降水回数Cと量子効果1.1974を用いて2重構造を表すと、C=60.19とすると、
         1.1794C^2 = 4338
2つの力学系の水分子1個のエネルギーの比は、
         \displaystyle\frac{k_b T}{k_ε λ} = 4334
従って、
         k_b T = 1.1971 C^2 k_ε λ
統計力学系のエネルギーβと新しい力学系のエネルギーτの変換係数はC_R Cである。古典統計と量子統計が2重構造になっていることが分かる。

  11. 新しい力学系の圧力

新しい力学系が2重構造をしており、量子効果を持つとすると、標準大気圧P_0から、新しい力学系の圧力Pを計算することができる。量子効果のパラメータS_Rをギッブスの自由エネルギーGで表すと次のようである。
         S_R = \displaystyle\frac{G_A + G_B - PV}{G_A}
         S_R' = \displaystyle\frac{G_A + G_B}{G_A}
G_{mix}=G_A+G_Bとすると、
         \displaystyle\frac{S_R}{S_R'} = 1- \displaystyle\frac{PV}{G_{mix}}
S_R/S_R'=1-P/Poより、量子効果を考慮して、
         1.1974*P_0 V = G_{mix}
G_{mix}=S_R'G_AG_A=αPVS_R'α=C_Rより
         P = \displaystyle\frac{1.1974*P_0}{C_R}
系が2重構造とすると、新しい力学系の圧力は次のとおりである。
         P =\displaystyle\frac{1.1974*P_0}{\sqrt{C_R C}}
上式から、P_0=101325 paC=60.19としてPを計算すると、P=1842 paである。量子効果のパラメータS_Rから計算した理論値、分子論的圧力P=1840 paとよく一致する。