哲学者の朝食はタバコとコーヒー

*フロイト(病気)とボルツマン(気象)の描く千佳画*//

rain.18.03.23.01

取りあえず、教科書を書き写してみよう。グランドカノニカル分布が導けたとして、Cは降水回数の和、rは微視状態の数の和である、
         \langle c_i\rangle = \displaystyle\frac{1}{Ξ}
                                          \sum_C\sum_rc_ie^{μC/λ}exp(-\displaystyle\frac{1}{λ}\sum_ic_i x_i)
         Ξ = Π_i (1-exp(\displaystyle\frac{1}{λ}(μ-x_i)))^{-1}
これをx_iで偏微分し、-λをかけると、
 -λ\displaystyle\frac{\partial c_i}{\partial x_i} =\displaystyle\frac{-λ}{Ξ^2}
                                                 (-\displaystyle\frac{\partial Ξ}{\partial x_i}\sum_C\sum_r c_i e^{μC/λ}exp(-\displaystyle\frac{1}{λ}\sum_i c_i x_i)          +Ξ\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}
                                      \sum_C\sum_r c_i e^{μC/λ}exp(-\displaystyle\frac{1}{λ}\sum_i c_i x_i))
     = -\displaystyle\frac{1}{Ξ^2}(\sum_C\sum_r c_i e^{μCλ}exp(-\displaystyle\frac{1}{λ}\sum_i c_i x_i))^2
          + \displaystyle\frac{1}{Ξ}  \sum_C\sum_r c_i ^2 e^{μC/λ}exp(-\displaystyle\frac{1}{λ}\sum_i c_i x_i)
     =\langle c_i^2\rangle\ -\langle c_i\rangle^2
     =\langle(c_i-\langle c_i\rangle)^2\rangle
揺らぎの式が導ける。
また、\langle c_i\rangleは、
         \langle c_i\rangle =\displaystyle\frac{1}{exp((x_i-μ)/λ)-1}
より、
         -λ \displaystyle\frac{\partial c_i}{\partial x_i} = \displaystyle\frac{exp((x_i-μ)/λ)}{(exp((x_i-μ)/λ)-1)^2}
              = \displaystyle\frac{1}{(exp(x_i-μ)/λ)-1}
                   + (\displaystyle\frac{1}{(exp(x_i-μ)/λ)-1})^2
              = \langle c_i\rangle(1+\langle c_i\rangle)
従って、
         σ^2(c_i) = \langle c_i\rangle(1+\langle c_i\rangle)