哲学者の朝食はタバコとコーヒー

*フロイト(病気)とボルツマン(気象)の描く千佳画*//

rain.18.03.24.02

いま、x_1の降水量を取る降水回数をc_1x_2c_2x_3c_3・・・・とし、次の条件を満たす、
         \sum_i x_i c_i = Q_r
         \sum_i c_i =C
グランドカノニカル分配関数Ξは次のとおりとなる。
         Ξ = \sum_C\sum_r exp(\displaystyle\frac{μC-Q_r}{λ})
           = \sum_C(\sum_r exp(\sum_i c_i(μ-x_i)/λ))
カノニカル分配関数Γを用いれば、
          Ξ = \sum_C e^{μC/λ}Γ
         Γ = \sum_r exp(-Q_r/λ)
である。 体積V、降水回数C、新しい温度λが分かっている時はΓを、体積V、化学ポテンシャルμ、新しい温度λが分かっている時はΞを用いる。
ここで、\sum_rは、\sum_i c_i =Cの条件下で現れる全ての微視状態について加えることを表す。それをさらにすべてのCについて加えるから、
         Ξ = \sum_1 \sum_2\sum_3・・・・exp(\sum_i c_i(μ-x_i)/λ)
と書き直すことができる。
c_iを0を含む整数とすれば、
          Ξ= Π_i (1-e^{(μ-x_i)/λ})^{-1}
ここで次の変換を用いた。
         1+ e^x +e^{2x} +e^{3x}・・・・= \displaystyle\frac{1}{1-e^x}
平均降水回数\langle c_i\rangleは、
         \langle c_i\rangle = \displaystyle\frac{1}{Ξ}\sum_C\sum_r c_i exp(\sum_i(c_i(μ-x_i)/λ))
            = \displaystyle\frac{1}{Ξ}(\sum_{c_1}exp(c_1(μ-x_i)/λ))
              ・・(\sum_{c_i} c_i exp(c_i(μ-x_i)/λ))・・
c_i以外の項は分母と分子で消去し合うから、
            = \displaystyle\frac{1}{(1-exp((μ-x_i)/λ) )^{-1}}
                 *(\sum_{c_i} c_i(exp((μ-x_i)/λ) )^{c_i})
            = \displaystyle\frac{1}{(1-exp((μ-x_i)/λ) )^{-1}}
                 *\displaystyle\frac{exp((μ-x_i)/λ)}{(1-exp((μ-x_i)/λ) )^2}
            = \displaystyle\frac{1}{exp((x_i -μ)/λ)-1}
ここで次の変換を用いた。
         \sum_n nx^n = x\displaystyle\frac{d}{dx}\sum_n x^n
             = x\displaystyle\frac{d}{dx}(\displaystyle\frac{1}{1-x}) =\displaystyle\frac{x}{(1-x)^2}