哲学者の朝食はタバコとコーヒー

*フロイト(病気)とボルツマン(気象)の描く千佳画*//

rain.18.03.27.01.ー降水と大気は量子効果を持つ(1)

降水は量子効果を持つ。従って、降水量分布は量子統計となる。この自明な命題が理解されるためには、100ページの論文を書かなくちゃいけない。いま、「統計力学と降水現象」(P 、Q、R)で基礎となる理論を70ページほど書いたから、もう数十ページほど幾つかの考察を書き加えよう。
先ず降水量分布を量子統計だけで表してみる。12ミリ以上の観測される降水量分布は、自由度1のボーズ・アインシュタイン統計と一致する。12ミリ以下の降水量分布はその量子統計から、平均降水量の大きい方へずれる。これは全ての降水量分布に見られる。
その理由として、降水現象は、量子統計だけではなく、古典統計、自由度1のボルツマン分布である、が共存するためだと考えられる。古典統計は、自由度1、S_R=1.652の量子統計と一致する。平均降水量はボーズ・アインシュタイン分布の平均降水量をλ/2とすれば1.652^2λ/2である。古典統計とボーズ・アインシュタイン分布が共存すれば、降水量xの小さい所では、古典統計の平均降水量より、もっと平均降水量が大きくなるはずである。
実際、観測される降水量分布は4ミリ以下では平均降水量が2^2λ/2の量子統計に近い。従って、本論では、降水量分布は、降水量xが12ミリ以下では、平均降水量が2^2λ/2の量子統計から、平均降水量がλ/2の量子統計、すなわち、自由度1、S_R=1のボーズ・アインシュタイン分布へ移行していると考えて、量子統計だけで、観測される降水量分布を導く。なぜS_R=2、つまり平均降水量が2^2λ/2から始まるかは本論で説明する。

まず、自由度1の量子統計、ボーズ・アインシュタイン分布をS_Rを使って一般化しよう。xは一雨の降水量、λは新しい温度、平均降水量<x>のパラメータ、である。
         f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{π} \sqrt{S_R^2 λ}}x^{-1/2}
                                                                 \displaystyle\frac{1}{e^{x/S_R^2 λ + 0.4789}-1}
S_Rは、降水のエネルギーをE_1、大氣のエネルギーをE_2とすれば次の定義である。
         S_R = \displaystyle\frac{E_1+E_2}{E_1}
S_R = 2の時、E_1=E_2S_R = 1の時、E_2 = 0である。S_R =2の時は古典力学系を表す。S_R=1の時は自由度1のボーズアインシュタイン統計である。S_Rは定義から明らかなように、物理的に意味のある範囲は1以上2以下である。S_R=1.652が新しい力学系の平均であり、自由度1のボルツマン統計と一致する。古典力学系は、降水と大気のエネルギーが等しいが、新しい力学系は、降水と大気のエネルギーの間に比を持つ。
S_Rが、1、1.652、2、について平均降水量<x>、年間降水回数C、年間降水量Qを示す。
         S_R   1     1.652      2
        <x>  λ/2   1.652^2 λ/2    2^2 λ/2
         C    C   1.652C   .  2C
         Q   λ/2C  1.652^3 λ/2C    2^3λ/2C

f(x)において平均値を変える。。

β/2S_R^2 β/2。。だ。。

E = S_R^2β/2 Nとして、

S_R = \displaystyle\frac{E_1+E_2}{E_1}

S_R = \displaystyle\frac{N_1+N_2}{N_1}

だから、S_Rの定義は変わらない。

が、Eは変わってくる。。

f(x)の数式化のためにはS_R =1

以外を考えなくちゃいけない。。

N_{mix} =S_R N_1
E_{mix} = S_R N_1 * S_R^2 β/2

か。。S_Rが1から2になると

N_{mix}は2倍だが、

系のE_{mix}は8倍になる。。

Qではどうなるか。。だな。。

Qの場合、S_Rを変えるとQ_{mix}はどうなるか。。

 β = k_ε λとおく。

従って、E = S_R^2 Nk_ε  λ/2

これをS_Rの次の定義に代入する。

S_R =\displaystyle\frac{E_1+E_2}{E_1}

Nk_ε = Ck_xより、

S_R = \displaystyle\frac{S_R^2Ck_{x_1} λ/2
        + S_R^2Ck_{x_2} λ/2}{S_R^2Ck_{x_1}λ/2}

従って、Q_1 = Cλ/2より、

S_R = \displaystyle\frac{S_R^2 Q_1(k_{x_1}+k_{x_2})}{S_R^2 Q_1 k_{x_1}}

 S_R = \displaystyle\frac{k_{x_1} + k_{x_2}}{k_{x_1}}より、

Q_{mix}S_Rが1から2となると8倍になり、

Cは2倍になる。

ちなみに、

Q_2 = Q_1 \displaystyle\frac{k_{x_2}}{k_{x_1}}

である。

L_εS_R L_εとなってもL_xは変わらない。。

k_ε = k_x\displaystyle\frac{C}{N}
k_x = \displaystyle\frac{gL_x}{2}

において、CS_R倍になってもNS_R

になり、また、k_εgは定数だから。。

従って、k_xも粒子の種類による定数になる。。

上式の両辺に、λ/2をかけると、

E = k_x Q

ES_R^3倍になると、QS_R^3倍となる。。

f(x)を数式化するために、P(x)を導入しよう。P(x)は次の形を持つ。
         P(x) = S_R - 1
これはS_Rの次の定義による。E_1は降水のエネルギー、E_2は大気のエネルギーである。
         S_R = \displaystyle\frac{E_1+E_2}{E_1}
変形すると、
         \displaystyle\frac{E_2}{E_1} = S_R-1
P(x)が1から0へ変化すると、S_Rは2から1へ変化する。上式では、E_2が、E_1 = E_2からE_2 = 0へ変化することとなる。量子統計では、f(x)_2f(x)_1へ変化することである。f(x)の添え字はS_Rである。
降水は量子効果を持つ。従って、観測された降水量分布は量子統計である、と考えて、2つの量子統計、f(x)_1f(x)_2で表すと、観測された降水量分布f(x)は次式となり、f(x)は降水量xの増加により、f(x)_2からf(x)_1へ変化していくと考えている。P(x)=0以下の降水量xではf(x)f(x)_1となる。
         f(x) = f(x)_1 - P(x)(f(x)_1-f(x)_2)
P(x)はエネルギーEの比、だから、P(x)は年間降水量Qの比で表されることになる。
S_R=2は古典力学系である。S_R=1.652は新しい力学系の平均である。S_R=1は新しい力学系の降水を表している。観測される降水量分布は古典力学系だけでは扱えないと考えてもよい、と考えている。

P(x)を設定しよう。
         S_R C\int_x^∞ f(x)_{S_R}dx = C_{xS_R}
         \displaystyle\frac{\int_x^∞ xf(x)_{S_R}dx}{\int_x^∞ f(x)_{S_R}dx}
                                                                                      = \langle x\rangle_{xS_R}
において、両式より、
         \displaystyle\frac{\int_x^∞ xf(x)_{S_R}dx}
                                                      {\displaystyle\frac{C_{xS_R}}{S_R C}} = \langle x\rangle_{xS_R}
従って、
         S_R C\int_x^∞ xf(x)_{S_R}dx = C_{xS_R}\langle x\rangle_{xS_R}
と変形して、右辺は、Q_{xS_R}だから、
         S_R C\int_x^∞ xf(x)_{S_R}dx = Q_{xS_R}
P(x)は、
         P(x) = \displaystyle\frac{Q_2}{Q_1} 2\displaystyle\frac{Q_{x1}}{Q_{x2}}-1
P(x)の変数部をf(x)_1f(x)_2で表すと、
         2\displaystyle\frac{Q_{x1}}{Q_{x2}}
                                                   = \displaystyle\frac{\int_x^∞ xf(x)_1 dx}{\int_x^∞ xf(x)_2dx}
である。ここで年間降水量Qと量子統計f(x)の添え字はS_Rであり、降水と大氣ではないことに注意しよう。

検証してみよう。

表1.と図1.に「統計力学と降水現象」の本論前編で用いた、中国、四国、九州、沖縄も含めた、17か所の県庁所在地の、過去15年間の降水量分布の平均と、S_R=1、自由度1、のボーズ・アインシュタイン統計、f(x)_1、とS_R=2の量子統計、f(x)_2、を示した。図1から、降水量xが12ミリ以上では観測される降水量分布f(x)は自由度1、S_R=1のボーズ・アインシュタイン統計と一致することが分かる。また、降水量xの小さい範囲では、特に4ミリ以下では、観測される降水量分布f(x)は、S_R=2の量子統計f(x)_2の付近に在ることが分かる。
図2.に、20ミリ以下の観測される降水量分布f(x)と、量子統計、f(x)_1f(x)_2、及び本論の理論値を拡大して示した。観測される降水量分布f(x)と本理論値は良く一致している。降水量が4ミリ以下では、若干傾斜が小さくなっているのは、積分範囲を、0ミリ以上、4ッミリ以上、8ミリ以上、12ミリ以上、16ミリ以上、として粗く計算したためである。
従って、観測される降水量分布は、量子統計をしていると考えてもよい、と考えられる。

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