哲学者の朝食はタバコとコーヒー

*フロイト(病気)とボルツマン(気象)の描く千佳画*//

rain.18.03.30.03.ー降水と大気は量子効果を持つ(3)

大氣は量子効果を持つ。大気には量子効果のパラメータS_R=1652が存在する。この量子効果のパラメータS_Rを用いると、大氣の窒素と酸素の比率が理論的に決定できた。同じように、このパラメータを用いて、乱流理論の風速分布則、対数則と呼ばれている、に現れる、kar定数、カルマン定数と呼ぶ、を理論的に決定できないか、ということを検討する。

量子効果のパラメータS_Rを対数則に導入しよう。。
まず、対数則を導こう。。

風速vが高さyに対して次の関係になっているとする。v_⋇ を地上での風速、摩擦速度、y_⋇を摩擦高さ、とすれば、
         \displaystyle\frac{v}{v_⋇} = (\displaystyle\frac{y}{y_⋇})^{1/η}
対数をとって、
         \ln v-\ln v_⋇ = \displaystyle\frac{1}{η}(\ln y-\ln y_⋇)
yで微分すると、
         \displaystyle\frac{dv}{dy} = \displaystyle\frac{v}{η}\displaystyle\frac{1}{y}
                                           =  \displaystyle\frac{v_⋇}
                                                             {ηe^{-\ln\displaystyle\frac{v}{v_⋇}}}\displaystyle\frac{1}{y}
k^2 = \ln\displaystyle\frac{v}{v_⋇}とおくと、
         \displaystyle\frac{dv}{dy} =
                                               \displaystyle\frac{v_⋇}
                                                           {ηe^{-η\frac{k^2}{η}}}\displaystyle\frac{1}{y}
今、
         f = ηe^{-η\frac{k^2}{η}}
と置く。fが一定なら、kar定数という、対数則であるが、次の変換によってfはレイリー分布となる。kar定数をレイリー分布のある操作、例えば平均、の結果であると考える。
         -\ln \displaystyle\frac{f}{η} = η\displaystyle\frac{k^2}{η}
上式では、左辺はfηの関数となっている。従って右辺もfηの関数と考える。
         f= \displaystyle\frac{k^2}{η}
とおくと、ηfkの関数となって、
         η = ke^{k^2/2}
         f = ke^{-k^2/2}
η =7の時は1/7乗則と呼ばれ、f=0.4~0.41の時には、対数則と呼ばれる。1/7乗則は地上数百メートル以上の大氣の風速分布として、対数則は地上数百メートル以下の大気の風速分布として用いられる。

このηfの関数の中に、量子効果のパラメータS_Rを導入しよう。
量子効果のパラメータS_Rはエネルギーの比だから、また同じ降水量であることを考慮して、
         S_R = \displaystyle\frac{ v_1^2+v_2^2}{v_1^2}
これを次のように置いて、
         S_R v^η = v^2
v = v_⋇のとき、S_R = 1とすれば、
         (\displaystyle\frac{v}{v_⋇})^{2-η} = S_R
        ∴S_R = e^{k^2(2-η)}
速度vの2乗をη乗に変換する際には、量子効果のパラメータS_Rがかかっていると考えている。S_Rが物理的に意味を持つのは1以上2以下である事に注意しよう。そしてS_Rの平均は1.652である。

ηfS_Rkの関係を図5.に示す。

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kを全て含んだ、平均的な各パラメータの値は、η=(\sqrt2)e=3.844k=\sqrt2=1.414f=0.52026である。1/7乗則が成立しているとすると、η=7k=1.687f=0.4066となるはずである。
図5.において、大気の状態が十分混合された状態、乱流状態という、では全てのkが含まれるのではなく、ηがある値付近になるk以上のkが全て含まれて平均的にk=1.687となっていると考える。混合状態、或いは乱流状態の平均のkを次の式とすると、混合の始まりは、つまり乱流領域の始まりは、k=0.9200η=1.405f=0.60255である。
         \langle k^2\rangle = \displaystyle\frac{\int_k^∞ k^3 e^{-k^2/2}dk}
                                                                    {\int_k^∞ k e^{-k^2/2}dk}
S_R =1.652のとき、k=0.9213η=1.40836f=0.6027だから、わずかに低い。従って、乱流が図5.のS_R =1.652以上の領域で生じていると考えると、k=1.688η=7.014f=0.4062、である。
f =0.4062が量子効果のパラメータS_Rを導入することによって、理論的に求まるkar定数である。